PRUEBA DE HIPOTESIS POR PROPORCIONES

PRUEBA DE HIPÓTESIS POR PROPORCIONES  

(1 POBLACIÓN, 2 POBLACIONES)

MICHEL N. COPPOLA

Una muestra: prueba sobre una sola proporción

Las pruebas de hipótesis que se relacionan con proporciones se requieren en muchas áreas. A los políticos les interesa conocer la fracción de votantes que los favorecerá en la siguiente elección. 

Todas las empresas manufactureras se preocupan por la proporción de artículos defectuosos cuando se realiza un embarque. Los jugadores dependen del conocimiento de la proporción de resultados que consideran favorables. Consideraremos el problema de probar la hipótesis de que la proporción de éxitos en un experimento binomial es igual a algún valor específico. 

Es decir, probaremos la hipótesis nula H0 de que P = P0 , donde P es el parámetro de la distribución binomial. La hipótesis alternativa puede ser una de las alternativas unilaterales o bilaterales usuales: 

P < P0 ,  P > P0 , o P ≠ P0 .   

La variable aleatoria adecuada sobre la que basamos nuestro criterio de decisión es la variable aleatoria binomial X; aunque también podríamos usar el estadístico  Pˆ = X/n.

Los valores de X que están lejos de la media μ = nP0 conducirán al rechazo de la hipótesis nula. Como X es una variable binomial discreta, es poco probable que se pueda establecer una región crítica cuyo tamaño sea exactamente igual a un valor preestablecido de α. Por esta razón es preferible, al trabajar con muestras pequeñas, basar nuestras decisiones en valores P. Para probar la hipótesis

H0 : P = P0 ,

H1 : P < P0 ,

utilizamos la distribución binomial para calcular el valor P 

P = P (X ≤ x cuando P = P0 ).

y rechazamos H0 a favor de H1 si este valor P es menor o igual que α. Finalmente, para probar la hipótesis

H0 : P = P0 ,

H1 : P ≠ P0 ,

a un nivel de significancia α, calculamos 

P = 2P (X ≤ x cuando P = P0 )  si x < nP0

o

P = 2P (X ≥ x cuando P = P0)  si x > nP0 

y rechazamos H0 a favor de H1 si el valor P calculado es menor o igual que α.

Prueba de una proporción (muestras pequeñas)

Los pasos para probar una hipótesis nula acerca de una proporción contra varias alternativas usando las probabilidades binomiales de la tabla son los siguientes: 

1. H0 : P = P0.

2. Una de las alternativas H1 : P < P0 , P > P0 o P ≠ P0 .

3. Elegir un nivel de significancia igual a α.

4. Estadístico de prueba: variable binomial X con P = P0 .

5. Cálculos: obtener x, el número de éxitos, y calcular el valor P adecuado.

6. Decisión: sacar las conclusiones apropiadas con base en el valor P.

Tablas y demostraciones estadísticas, Sumas de probabilidad binomial

Ejemplo numero 1: 

Un constructor afirma que en 70% de las viviendas que se construyen actualmente en la ciudad de Richmond, Virginia, se instalan bombas de calor. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una encuesta aleatoria de viviendas nuevas en esta ciudad revelara que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10.

Solución:

1. H0 : p = 0.7.

2. H1 : p ≠ 0.7.

3. α = 0.10.

4. Estadístico de prueba: Variable binomial X con p = 0.7 y n = 15.

5. Cálculos: x = 8 y np0 = (15)(0.7) = 10.5. Por lo tanto, de la tabla A.1 , el valor P calculado es: 

6. Decisión: No rechazar H0 . Concluir que no hay razón suficiente para dudar de la afirmación del constructor.  

Cuando n es pequeña las probabilidades binomiales se pueden obtener de la fórmula binomial real o de la tabla A.1.

 Para n grande se requieren procedimientos de aproximación.

Cuando el valor hipotético P0 está muy cerca de 0 o de 1 se puede utilizar la distribución de Poisson con parámetro μ = nP0.

Sin embargo, para n grande por lo general se prefiere la aproximación de la curva normal, con los parámetros μ = nP0   y 𝞼² = np0 q0 , la cual es muy precisa, siempre y cuando p0 no esté demasiado cerca de 0 ó de 1. Si utilizamos la aproximación normal, el valor z para probar p = p0 es dado por

que es un valor de la variable normal estándar Z. Por consiguiente, para una prueba de dos colas al nivel de significancia α , la región crítica es z < –zα/2 ó z > zα/2. Para la alternativa unilateral p < p0 , la región crítica es z < -zα, y para la alternativa p > p0 , la región crítica es z > zα.

Ejemplo numero 2:

 Se considera que un medicamento que se prescribe comúnmente para aliviar la tensión nerviosa tiene una eficacia de tan sólo 60%. Los resultados experimentales de un nuevo fármaco administrado a una muestra aleatoria de 100 adultos que padecían tensión nerviosa revelaron que 70 de ellos sintieron alivio. ¿Esta evidencia es suficiente para concluir que el nuevo medicamento es mejor que el que se prescribe comúnmente? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Solución:

1. H0 : p = 0.6.

2. H1 : p > 0.6.

3. α = 0.05.

 4. Región crítica: z > 1.645. 

5. Cálculos: x = 70, n = 100, pˆ = 70/100 = 0.7 y 

6. Decisión: Rechazar H0 y concluir que el nuevo fármaco es mejor.  

Dos muestras: pruebas sobre dos proporciones

A menudo surgen situaciones en las que se desea probar la hipótesis de que dos proporciones son iguales. 

Por ejemplo, podemos tratar de mostrar evidencia de que la proporción de médicos que son pediatras en un estado es igual a la proporción de pediatras en otro estado. Quizás un individuo decida dejar de fumar sólo si se convence de que la proporción de fumadores con cáncer pulmonar excede a la proporción de no fumadores con ese tipo de cáncer. 

En general, deseamos probar la hipótesis nula de que dos proporciones, o parámetros binomiales, son iguales. Es decir, probamos p1 = p2 contra una de las alternativas p1 < p2 , p1 > p2 , o p1 ≠ p2 . 

Desde luego, esto es equivalente a probar la hipótesis nula de que p1 - p2 = 0 contra una de las alternativas p1 – p2 < 0, p1 - p2 > 0 ó p1 - p2 ≠ 0.

 El estadístico sobre el que basamos nuestra decisión es la variable aleatoria P ^ 1 - P ^ 2 . Se seleccionan al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos poblaciones binomiales y se calcula la proporción de éxitos P ^ 1 y P ^ 2 para las dos muestras. En la construcción de intervalos de confianza para p1 y p2 observamos, para n1 y n2 suficientemente grandes, que el estimador puntual P ^ 1 menos P ^ 2 estaba distribuido de forma casi normal con media

y varianza 

Por lo tanto, es posible establecer la(s) región(es) crítica(s) usando la variable normal estándar

Cuando H0 es verdadera, podemos sustituir p1 = p2 = p y q1 = q2 = q (donde p y q son los valores comunes) en la fórmula anterior para Z y obtener la forma

Sin embargo, para calcular un valor de Z debemos estimar los parámetros p y q que aparecen en el radical. Al agrupar los datos de ambas muestras el estimado agrupado de la proporción p es

donde x1 y x2 son el número de éxitos en cada una de las dos muestras. Al sustituir pˆ por p y qˆ = 1 - pˆ por q, el valor z para probar p1 = p2 se determina a partir de la fórmula

Las regiones críticas para las hipótesis alternativas adecuadas se establecen como antes, utilizando puntos críticos de la curva normal estándar.

 En consecuencia, para la alternativa p1 ≠ p2 , al nivel de significancia α, la región crítica es 

z < -zα/2 ó z > zα/2. 

Para una prueba donde la alternativa es p1 < p2 , la región crítica será z < -zα; 

y cuando la alternativa es p1 > p2 , la región crítica será z > zα.

Ejemplo numero 3:

Se organizará una votación entre los residentes de una ciudad y el condado circundante para determinar si se aprueba una propuesta para la construcción de una planta química. Como el lugar en el que se propone construirla está dentro de los límites de la ciudad, muchos votantes del condado consideran que la propuesta será aprobada debido a la gran proporción de votantes que está a favor de que se construya. Se realiza una encuesta para determinar si hay una diferencia significativa en la proporción de votantes de la ciudad y los votantes del condado que favorecen la propuesta. 

Si 120 de 200 votantes de la ciudad favorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado también lo hacen, ¿estaría usted de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es mayor que la proporción de votantes del condado? Utilice un nivel de significancia de α = 0.05.

Solución:

Sean p1 y p2 las proporciones verdaderas de votantes en la ciudad y el condado, respectivamente, que favorecen la propuesta.

1). H0 : p1 = p2. 

 2). H1 : p1 > p2. 

 3). α = 0.05 

 4). Región crítica: z > 1.645.

 5). Cálculos:

Por lo tanto,

6). Decisión: 

Rechazar H0 y estar de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad a favor de la propuesta es mayor que la proporción de votantes del condado.