PRUEBA DE HIPOTESIS CON MEDIA y 𝞼² CONOCIDAS Y DESCONOCIDAS

CHERWIN CHIRINOS

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA (µ )SI LA VARIANZA(𝞼²) ES CONOCIDA:

     El modelo para la situación subyacente se centra alrededor de un experimento con X₁,X₂,...Xn , que representan una muestra aleatoria de una distribución con media µ y varianza 𝞼²>0

    El estadístico de prueba se basa en la variable aleatoria   :

Obtención del estadístico de prueba:

     Para determinar el estadístico de prueba , es necesario calcular y estandarizar la medida de la muestra, estandarizar se refiere a convertir el promedio muestral a una puntuación de una distribución conocida.

El promedio muestral tiene una distribución normal , por lo que se transformara el valor del estadístico a una puntuación z, los parámetros que se utilizan para estandarizar el estadístico de prueba son : la media de la población , la desviación estándar de la población y el tamaño de la muestra :

estandarizar x(promedio):

Obtención del valor critico:

: Al realizar un contraste de hipótesis se puede tener interés de investigar si la media poblacional es diferente, es mayor o es menor que un valor que se ha fijado de antemano. Para resolver estos problemas se plantean las siguientes hipótesis

• Unilateral derecha
•  Unilateral izquierda 
•  Bilateral

Hipótesis bilateral: El nivel de significancia α se distribuye uniformemente en ambos extremos de la distribución de probabilidad, as α/2 en cada extremo y las hipótesis se plantean así:

H₀: µ = µ₀ 

H₁: µ ≠  µ₀

Se rechaza la hipótesis nula si se cumple que :

Dichas condiciones son suficientes para rechazar la hipótesis nula, y por tanto la aceptación  la hipótesis alternativa.

Hipotesis unilateral a la derecha. El valor de α se asigna en el extremo derecho de la distribución y las hipótesis se plantean así:

                                                                   H₀: µ = µ₀ 

                                                                    H₁: µ > µ₀

Por tanto la prueba de la cola derecha rechazara la hipótesis nula y aceptara la hipótesis alternativa si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico, que deja un área igual a α en la cola derecha de la distribución normal estándar:

Hipótesis unilateral a la izquierda. El valor de α se asigna en el extremo izquierdo de la distribución y las hipótesis se plantean así:

                                                                                           H₀: µ = µ₀ 

                                                                                           H₁: µ < µ₀

Por tanto la prueba de la cola izquierda rechazara la hipótesis nula y aceptara la hipótesis alternativa si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico, que deja un área igual a α en la cola izquierda  de la distribución normal estándar:

Ejemplo:

2) Una muestra aleatoria de 100 muertos registrados en Estados Unidos durante el año pasado mostró una vida promedio de 71,8 años. Suponiendo una desviación estándar poblacional de 8,9 años. ¿Parecería esto indicar que la vida promedio hoy día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significación de 0,05.

Solución:

   H₀: µ = 70

   H₁: µ > 70

   α=0,05

 x(promedio)= 71.8

   𝞼=8.9 

   n=100

    Región Critica=  Z>1.645, donde z :

Comparamos resultados :

Si el estadístico z es mayor que el valor critico , rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa.

Z=2.022

Zα = 1.645

Z>Zα , por lo tanto rechazamos la hipótesis nula  H₀.

Conclusión: Por lo tanto se concluye que los datos muestrales sustentan la información de que la vida media es mayor que 70 años.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA (µ ) SI LA VARIANZA (𝞼² ) ES DESCONOCIDA:

En este caso como no conocemos la varianza se usa s²  y por lo tanto la prueba estadística adecuada es:

Para la hipótesis bilateral:

H₀: µ = µ₀ 

H₁: µ ≠  µ₀

Para probar la hipótesis nula, se calcula es valor estdistico de prueba tc y se rechaza H₀  si :

Para la hipótesis unilateral derecha:

                                                                    H₀: µ = µ₀ 

                                                                    H₁: µ > µ₀

se calcula es valor estadístico de prueba tc de la ecuación y se rechaza H₀  si : 

                                                                   
Para la hipótesis unilateral izquierda:

                                                                        H₀: µ = µ₀ 

                                                                         H₁: µ < µ₀

se calcula es valor estadístico de prueba tc de la ecuación y se rechaza H₀  si : 

Ejemplo:

El Edison Electric Institute publica cifras del número de kilowatts-hora que gastan anualmente varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspi radora gasta un promedio de 46 kilowatts-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares, que se incluye en un estudio planeado, indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatts-hora al año con una desviación estándar de 11.9 kilowatts-hora, ¿esto sugiere que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatts-hora al año a un nivel de significancia de 0.05? Suponga que la población de kilowatts-hora es normal.

Solucion:

  H₀: µ = 46 kilowatts-hora

   H₁: µ < 46 kilowatts-hora

   α=0,05

  x(promedio)= 42 kilowatts-hora

   s=11.9 kilowatts-hora 

   n=12

    Región Critica=  t<-1.796, donde t :

Conclusión: no rechazar H0 y concluir que el número promedio de kilowatts-hora que gastan al año las aspiradoras domésticas no es significativamente menor que 46.