PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA μ1 Y μ2 CON VARIANZAS CONOCIDAS Y DESCONOCIDAS:

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA:  μ1 Y μ2  CON 𝞼²1 Y 𝞼²2 CONOCIDAS Y DESCONOCIDAS. 

MICHEL N. COPPOLA.

Pruebas de hipótesis de una y dos muestras para varianzas conocidas.

Ejemplo numero 1: 

Un fabricante de baterías para automóvil afirma que la duración de sus baterías se distribuye de forma aproximadamente normal con una desviación estándar igual a 0.9 años. Si una muestra aleatoria de 10 de tales baterías tiene una desviación estándar de 1.2 años,

¿Considere que σ > 0.9 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Solución:  

1). H0 : 𝞼² = 0,81.

2). H1 : 𝞼² > 0,81.

3). α = 0,05.

4). Región crítica: En la figura vemos que se rechaza la hipótesis nula cuando X² > 16,919, donde 

con v = 9 grados de libertad.

Figura de Región crítica para la hipótesis alternativa 𝞼² > 0,9.

5). Cálculos:

s²  = 1.44 , n = 10 y 

6). Decisión:

El estadístico X² no es significado al nivel 0.05. sin embargo, con base en el valor P de 0.07 , hay evidencia de que 𝞼² >0.9.  

consideremos ahora el problema de probar la igualdad de las varianzas 𝞼²1 y 𝞼²2  de dos poblaciones. Esto es, probaremos la hipótesis nula H0  de que 𝞼²1 = 𝞼²2  contra una de las alternativas usuales: 

Para muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 ,  

respectivamente, de las dos poblaciones, el valor f  para probar σ = σ es el cociente 

Donde s²1 y s²2  son las varianzas calculadas de las dos muestras. Si las dos poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal y la hipótesis nula es verdadera, de acuerdo con el siguiente teorema:

El cociente f = s²1 / s²2  es un valor de la distribución F con v1 = n1 - 1 y v2 = n2 - 1 grados de libertad. Por lo tanto, las regiones críticas de tamaño α que corresponden a las alternativas unilaterales 𝞼²1 < 𝞼²2  y 𝞼²1  >  𝞼²2  son, respectivamente, 

y 

Para la alternativa bilateral 𝞼²1 ≠ 𝞼²2  la región crítica es: 

                                          

Pruebas de hipótesis de una y dos muestras para varianzas desconocidas.

Dos muestras: pruebas sobre dos medias 

 Las pruebas respecto a dos medias representan un conjunto de herramientas analíticas muy importantes para el científico o el ingeniero. 

 Se extraen dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 , respectivamente, de dos poblaciones con medias  μ1 y μ2 , y varianzas 𝞼²1 y 𝞼²2 Sabemos que la variable aleatoria

tiene una distribución normal estándar. Suponemos aquí que n1 y n2  son suficientemente grandes, por lo que se aplica el teorema del límite central. Por supuesto, si las dos poblaciones son normales, el estadístico anterior tiene una distribución normal estándar incluso para n1 y n2  pequeñas. Evidentemente, si podemos suponer que σ1 = σ2 = σ, el estadístico anterior se reduce a 

Los dos estadísticos anteriores sirven como base para el desarrollo de los procedimientos de prueba que incluyen dos medias. La equivalencia entre las pruebas y los intervalos de confianza, junto con los detalles técnicos implicados en las pruebas sobre una media, permiten que la transición a pruebas con dos medias sea sencilla. La hipótesis bilateral sobre dos medias se escribe de manera muy general como:

H0 : μ1 – μ2 = d0.

Es evidente que la alternativa puede ser bilateral o unilateral. De nuevo, la distribución que se utiliza es la distribución del estadístico de prueba bajo H0 . Se calculan los valores 
x1 y x2, y para σ1 y σ2 conocidas, el estadístico de prueba es dado por 

con una región crítica de dos colas en el caso de una alternativa bilateral. Es decir, se rechaza H0 a favor de  H1 : μ1 – μ2  ≠ d0 ,  si z > zα/2 o z < –zα/2 .Las regiones críticas de una cola se utilizan en el caso de alternativas unilaterales. El lector debería estudiar, como antes, el estadístico de prueba y estar satisfecho de que para, digamos H1 : μ1 – μ2 > d0 , la señal que favorece H1 provenga de valores grandes de z. Por consiguiente, se aplica la región crítica de la cola superior.

Varianzas desconocidas pero iguales

Las situaciones más comunes que implican pruebas sobre dos medias son aquellas con varianzas desconocidas. 

Si el científico interesado está dispuesto a suponer que ambas distribuciones son normales y que σ1 = σ2 = σ, se puede utilizar la prueba t agrupada (a menudo llamada prueba t de dos muestras). El estadístico de prueba es dado por el siguiente procedimiento de prueba.

Prueba t agrupada de dos muestras

Para la hipótesis bilateral 

H0 : μ1 = μ2 ,

H1 : μ1 ≠ μ2 ,

rechazamos H0 al nivel de significancia α cuando el estadístico t calculado

donde 

excede a t α/ 2, n1 +n 2 −2 o es menor que − t α/ 2, n1 +n2 −2 .

 Los grados de libertad para la distribución t son un resultado del agrupamiento de la información de las dos muestras para es timar σ2 . Las alternativas unilaterales, como era de esperarse, sugieren regiones críticas unilaterales. Por ejemplo, para H1: μ1 − μ2 > d0, rechace H1: μ1 − μ2 = d0 cuando t > tα, n1 +n 2 −2 .

Ejemplo numero 2: 

Se llevó a cabo un experimento para comparar el desgaste por abrasivos de dos diferentes materiales laminados. Se probaron 12 piezas del material 1 exponiendo cada pieza a una máquina para medir el desgaste. Se probaron 10 piezas del material 2 de manera similar. En cada caso se observó la profundidad del desgaste. Las muestras del material 1 revelaron un desgaste promedio (codificado) de 85 unidades con una desviación estándar muestral de 4; en tanto que las muestras del material 2 revelaron un promedio de 81 y una desviación estándar muestral de 5. 

¿Podríamos concluir, a un nivel de significancia de 0.05, que el desgaste abrasivo del material 1 excede al del material 2 en más de 2 unidades? Suponga que las poblaciones son aproximadamente normales con varianzas iguales. 

Solución: 

Representemos con μ1 y μ2 las medias de la población del desgaste abrasivo para el material 1 y el material 2, respectivamente.

1). H0 : μ1 – μ2 = 2. 

2). H1 : μ1 – μ2 > 2. 

3). α = 0.05. 

4). Región crítica: t > 1.725, donde

 

  con v = 20 grados de libertad.

5). Cálculos: 

En consecuencia,

6). Decisión: no rechazar H0 . No podemos concluir que el desgaste abrasivo del material 1 excede al del material 2 en más de 2 unidades. 

Varianzas desconocidas pero diferentes

Hay situaciones donde al analista no le es posible suponer que 𝞼²1 y 𝞼²2 . Y si las poblaciones son normales, el estadístico

tiene una distribución t aproximada con grados de libertad aproximados

Como resultado, el procedimiento de prueba consiste en no rechazar H0 cuando

−tα/ 2, v < t < t α/ 2,v ,

con v dado como antes. De nuevo, como en el caso de la prueba t agrupada, las alternativas unilaterales sugieren regiones críticas unilaterales.